注：本文为 “ 数字电路 · 逻辑代数” 相关合辑。 图片清晰度受引文原图所限。 略作重排，未整理去重。 如有内容异常，请看原文。
逻辑代数的逻辑运算、基本定律、常用公式、基本规则
bhlu 已于 2024-12-11 10:30:30 修改
1 逻辑运算
常见的逻辑运算包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）运算，其基本定义如下：
与运算：当且仅当所有输入均为 1 时，输出为 1；否则输出为 0。其运算符号为 “
⋅
\cdot
⋅”，表达式为
A
⋅
B
A \cdot B
A⋅B。或运算：只要有一个输入为 1，输出即为 1；仅当所有输入均为 0 时，输出才为 0。其运算符号为 “+”，表达式为
A
+
B
A + B
A+B。非运算：对输入信号进行取反操作，输入为 0 时输出为 1，输入为 1 时输出为 0。其运算符号为 “
‾
\overline{\quad}
”，表达式为
A
‾
\overline{A}
A。
2 基本定律
2.1 常量间的运算
与运算定律：
0
⋅
0
=
0
0 \cdot 0 = 0
0⋅0=0
0
⋅
1
=
0
0 \cdot 1 = 0
0⋅1=0
1
⋅
0
=
0
1 \cdot 0 = 0
1⋅0=0
1
⋅
1
=
1
1 \cdot 1 = 1
1⋅1=1或运算定律：
0
+
0
=
0
0 + 0 = 0
0+0=0
0
+
1
=
1
0 + 1 = 1
0+1=1
1
+
0
=
1
1 + 0 = 1
1+0=1
1
+
1
=
1
1 + 1 = 1
1+1=1非运算定律：
0
‾
=
1
\overline{0} = 1
0=1
1
‾
=
0
\overline{1} = 0
1=0
2.2 逻辑变量与常量的运算
0-1 律：
0
+
A
=
A
0 + A = A
0+A=A
1
+
A
=
1
1 + A = 1
1+A=1
0
⋅
A
=
0
0 \cdot A = 0
0⋅A=0
1
⋅
A
=
A
1 \cdot A = A
1⋅A=A同一律：
A
+
A
=
A
A + A = A
A+A=A
A
⋅
A
=
A
A \cdot A = A
A⋅A=A还原律：
A
‾
‾
=
A
\overline{\overline{A}} = A
A=A
2.3 与普通代数相似的定律
交换律：
A
+
B
=
B
+
A
A + B = B + A
A+B=B+A
A
⋅
B
=
B
⋅
A
A \cdot B = B \cdot A
A⋅B=B⋅A结合律：
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
(A + B) + C = A + (B + C)
(A+B)+C=A+(B+C)
(
A
⋅
B
)
⋅
C
=
A
⋅
(
B
⋅
C
)
(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)
(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)分配律：
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A(B + C) = A B + A C
A(B+C)=AB+AC
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
A + B C = (A + B)(A + C)
A+BC=(A+B)(A+C) 证明过程如下：
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
=
A
A
+
A
C
+
B
A
+
B
C
=
A
+
A
C
+
A
B
+
B
C
=
A
(
1
+
B
+
C
)
+
B
C
=
A
+
B
C
\begin{align*} (A + B)(A + C) &= A A + A C + B A + B C \\ &= A + A C + A B + B C \\ &= A(1 + B + C) + B C \\ &= A + B C \end{align*}
(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC
2.4 摩根定律（反演律）
A
⋅
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}
A⋅B=A+B
A
⋅
B
⋅
C
⋯
‾
=
A
‾
+
B
‾
+
C
‾
⋯
\overline{A \cdot B \cdot C \cdots} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} \cdots
A⋅B⋅C⋯=A+B+C⋯
2.5 吸收律
基本形式：
A
B
+
A
B
‾
=
A
(
B
+
B
‾
)
=
A
A B + A \overline{B} = A(B + \overline{B}) = A
AB+AB=A(B+B)=A
A
+
A
B
=
A
(
1
+
B
)
=
A
A + A B = A(1 + B) = A
A+AB=A(1+B)=A
A
+
A
‾
B
=
(
A
+
A
‾
)
(
A
+
B
)
=
A
+
B
A + \overline{A} B = (A + \overline{A})(A + B) = A + B
A+AB=(A+A)(A+B)=A+B推广公式：
A
‾
+
A
B
=
A
‾
+
B
\overline{A} + A B = \overline{A} + B
A+AB=A+B
2.6 冗余律
基本形式：
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
A B + \overline{A} C + B C = A B + \overline{A} C
AB+AC+BC=AB+AC 推导过程如下：
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
(
A
+
A
‾
)
=
A
B
+
A
‾
C
+
A
B
C
+
A
‾
B
C
=
A
B
(
1
+
C
)
+
A
‾
C
(
1
+
B
)
=
A
B
+
A
‾
C
\begin{align*} A B + \overline{A} C + B C &= A B + \overline{A} C + B C(A + \overline{A}) \\ &= A B + \overline{A} C + A B C + \overline{A} B C \\ &= A B(1 + C) + \overline{A} C(1 + B) \\ &= A B + \overline{A} C \end{align*}
AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC 推广公式：
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
D
⋯
=
A
B
+
A
‾
C
A B + \overline{A} C + B C D \cdots = A B + \overline{A} C
AB+AC+BCD⋯=AB+AC
3 常用公式
3.1 异或非运算公式
A
B
‾
+
A
‾
B
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
+
A
B
\overline{A \overline{B} + \overline{A} B} = \overline{A} \cdot \overline{B} + A B
AB+AB=A⋅B+AB 推导过程如下：
A
B
‾
+
A
‾
B
‾
=
A
B
‾
‾
⋅
A
‾
B
‾
=
(
A
‾
+
B
)
(
A
+
B
‾
)
=
A
‾
A
+
A
‾
B
‾
+
A
B
+
B
B
‾
=
A
‾
B
‾
+
A
B
\begin{align*} \overline{A \overline{B} + \overline{A} B} &= \overline{A \overline{B}} \cdot \overline{\overline{A} B} \\ &= (\overline{A} + B)(A + \overline{B}) \\ &= \overline{A} A + \overline{A} \overline{B} + A B + B \overline{B} \\ &= \overline{A} \overline{B} + A B \end{align*}
AB+AB=AB⋅AB=(A+B)(A+B)=AA+AB+AB+BB=AB+AB 实质：
A
B
‾
+
A
‾
B
‾
=
A
⊕
B
‾
=
A
⊙
B
=
A
‾
⋅
B
‾
+
A
B
\overline{A \overline{B} + \overline{A} B} = \overline{A \oplus B} = A \odot B = \overline{A} \cdot \overline{B} + A B
AB+AB=A⊕B=A⊙B=A⋅B+AB 推广规则：若逻辑表达式中存在原变量
A
A
A 与反变量
A
‾
\overline{A}
A 分别与不同变量组合的项，则剩余变量可直接取反，例如
A
B
+
A
‾
C
‾
=
A
B
‾
+
A
‾
⋅
C
‾
\overline{A B + \overline{A} C} = A \overline{B} + \overline{A} \cdot \overline{C}
AB+AC=AB+A⋅C。
3.2 异或运算相关公式
交换律：
A
⊕
B
=
B
⊕
A
A \oplus B = B \oplus A
A⊕B=B⊕A结合律：
(
A
⊕
B
)
⊕
C
=
A
⊕
(
B
⊕
C
)
(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)
(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)分配律：
A
⋅
(
B
⊕
C
)
=
A
B
⊕
A
C
A \cdot (B \oplus C) = A B \oplus A C
A⋅(B⊕C)=AB⊕AC变量与常量的运算：
A
⊕
1
=
A
‾
A \oplus 1 = \overline{A}
A⊕1=A
A
⊕
0
=
A
A \oplus 0 = A
A⊕0=A
A
⊕
A
=
0
A \oplus A = 0
A⊕A=0因果互换律： 若
A
⊕
B
=
C
A \oplus B = C
A⊕B=C，则
{
A
⊕
C
=
B
B
⊕
C
=
A
\begin{cases} A \oplus C = B \\ B \oplus C = A \end{cases}
{A⊕C=BB⊕C=A
4 基本规则
4.1 代入规则
对于任意逻辑等式，若将等式中所有相同的逻辑变量替换为同一逻辑表达式，则等式仍然成立。
示例：
对于公式
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
A + \overline{A} B = A + B
A+AB=A+B，若将所有
A
A
A 替换为
A
‾
\overline{A}
A，可得
A
‾
+
A
B
\overline{A} + A B
A+AB，根据吸收律化简得
A
‾
+
B
\overline{A} + B
A+B；若将所有
B
B
B 替换为
C
C
C，可得
A
+
A
‾
C
A + \overline{A} C
A+AC，根据吸收律化简得
A
+
C
A + C
A+C。对于摩根定律
A
+
B
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}
A+B=A⋅B，若将
B
B
B 替换为
B
+
C
B + C
B+C，可得
A
+
(
B
+
C
)
‾
=
A
‾
⋅
B
+
C
‾
\overline{A + (B + C)} = \overline{A} \cdot \overline{B + C}
A+(B+C)=A⋅B+C，再应用摩根定律化简得
A
+
(
B
+
C
)
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
⋅
C
‾
\overline{A + (B + C)} = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}
A+(B+C)=A⋅B⋅C。
4.2 反演规则
对于任意逻辑函数式
Y
Y
Y，若将式中所有运算符号 “
⋅
\cdot
⋅” 替换为 “+”、“+” 替换为 “
⋅
\cdot
⋅”，常量 “0” 替换为 “1”、“1” 替换为 “0”，同时原变量替换为反变量、反变量替换为原变量，则所得表达式即为原逻辑函数的反函数
Y
‾
\overline{Y}
Y。
应用该规则时需注意：
不得改变原式的运算优先级（先括号内、后 “
⋅
\cdot
⋅” 再 “+”）；仅对单个变量的非号进行互换，长非号（多个变量共同的非号）保持不变。
示例：
若
Y
=
A
⋅
B
+
C
‾
+
C
D
Y = A \cdot \overline{B + C} + C D
Y=A⋅B+C+CD，则
Y
‾
=
(
A
‾
+
B
‾
⋅
C
‾
‾
)
⋅
(
C
‾
+
D
‾
)
\overline{Y} = (\overline{A} + \overline{\overline{B} \cdot \overline{C}}) \cdot (\overline{C} + \overline{D})
Y=(A+B⋅C)⋅(C+D)；若
Y
=
A
B
‾
+
C
‾
+
D
+
E
Y = \overline{\overline{A B} + C} + D + E
Y=AB+C+D+E，则
Y
‾
=
(
A
‾
+
B
‾
)
⋅
C
‾
‾
⋅
D
‾
⋅
E
‾
\overline{Y} = \overline{(\overline{A} + \overline{B}) \cdot \overline{C}} \cdot \overline{D} \cdot \overline{E}
Y=(A+B)⋅C⋅D⋅E。
4.3 对偶规则
对于任意逻辑函数式
Y
Y
Y，若将式中所有运算符号 “
⋅
\cdot
⋅” 替换为 “+”、“+” 替换为 “
⋅
\cdot
⋅”，常量 “0” 替换为 “1”、“1” 替换为 “0”，变量及其非号保持不变，则所得表达式即为原逻辑函数的对偶函数
Y
′
Y'
Y′。
应用该规则时需注意：
不得改变原式的运算优先级（先括号内、后 “
⋅
\cdot
⋅” 再 “+”）；变量上的非号均保持不变。
示例：
0
⋅
0
=
0
0 \cdot 0 = 0
0⋅0=0 的对偶式为
1
+
1
=
1
1 + 1 = 1
1+1=1；
A
+
A
‾
=
1
A + \overline{A} = 1
A+A=1 的对偶式为
A
⋅
A
‾
=
0
A \cdot \overline{A} = 0
A⋅A=0；
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A(B + C) = A B + A C
A(B+C)=AB+AC 的对偶式为
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
A + B C = (A + B)(A + C)
A+BC=(A+B)(A+C)；若
Y
=
A
B
‾
+
C
‾
+
D
+
E
Y = \overline{\overline{A B} + C} + D + E
Y=AB+C+D+E，则
Y
′
=
(
A
⋅
B
)
‾
⋅
C
‾
⋅
D
⋅
E
Y' = \overline{\overline{(A \cdot B)} \cdot C} \cdot D \cdot E
Y′=(A⋅B)⋅C⋅D⋅E。
逻辑代数的规律规则（公式集）
楼店八先生已于 2023-12-23 14:51:21 修改
逻辑代数是进行逻辑运算的数学方法和工具，跟普通代数一样遵循一定的运算规则。
掌握逻辑代数的规律规则是进行逻辑电路的化简、变换、分析和设计的基础。
1. 基本运算律
⑴ 常量与变量的关系
① 0-1 律：
A
⋅
0
=
0
;
A
+
0
=
A
A\cdot 0 = 0 ; \quad \textcolor{#FF0000}{A + 0 = A}
A⋅0=0;A+0=A
A
⋅
1
=
A
;
A
+
1
=
1
A\cdot 1 = A ; \quad A + 1 = 1
A⋅1=A;A+1=1
② 重叠律：
A
+
A
=
A
;
A
⋅
A
=
A
A + A = A ; \quad A\cdot A = A
A+A=A;A⋅A=A
③ 互补律：
A
+
A
ˉ
=
1
;
A
⋅
A
ˉ
=
0
\textcolor{#FF0000}{A + \bar{A} = 1} ; \quad A\cdot \bar{A} = 0
A+Aˉ=1;A⋅Aˉ=0
④ 还原律：
A
‾
‾
=
A
\overline{\overline{A}} = A
A=A
⑵ 交换律和结合律
① 交换律：
A
+
B
=
B
+
A
A + B = B + A
A+B=B+A
A
⋅
B
=
B
⋅
A
A \cdot B = B \cdot A
A⋅B=B⋅A
② 结合律
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
(A + B) + C = A + (B + C)
(A+B)+C=A+(B+C)
(
A
⋅
B
)
⋅
C
=
A
⋅
(
B
⋅
C
)
(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)
(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
⑶ 分配律
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A (B + C) = AB + AC
A(B+C)=AB+AC
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
\textcolor{#FF0000}{A + BC = (A + B)(A + C)}
A+BC=(A+B)(A+C)
2. 其他常用公式
⑴ 吸收律
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
\textcolor{#FF0000}{A + \overline{A} B = A + B}
A+AB=A+B
⑵ 摩根定律（反演律）
摩根定律（也称摩根定理）由英国数学家德・摩根（1806~1871）提出（布尔是摩根的坚定支持者），涉及两个逻辑等式：
(
A
+
B
)
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
\textcolor{#FF0000}{\overline{(A + B)} = \overline{A}\cdot \overline{B}}
(A+B)=A⋅B
A
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\textcolor{#FF0000}{\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}}
AB=A+B
多变量扩展：
A
+
B
+
C
+
⋯
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
⋅
C
‾
⋯
\overline{A + B + C + \cdots} = \overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C} \cdots
A+B+C+⋯=A⋅B⋅C⋯
A
B
C
⋯
‾
=
A
‾
+
B
‾
+
C
‾
+
⋯
\overline{ABC \cdots} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + \cdots
ABC⋯=A+B+C+⋯
以上两式可通过定律的二变量形式自证，例如：
A
+
B
+
C
‾
=
(
A
+
B
)
+
C
‾
=
A
+
B
‾
⋅
C
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
⋅
C
‾
\overline{A + B + C} = \overline{(A + B) + C} = \overline{A + B}\cdot \overline{C} = \overline{A}\cdot \overline{B}\cdot \overline{C}
A+B+C=(A+B)+C=A+B⋅C=A⋅B⋅C
⑶ 常用恒等式
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
\textcolor{#FF0000}{AB + \overline{A} C + BC = AB + \overline{A} C}
AB+AC+BC=AB+AC
可扩展为：
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
D
⋯
=
A
B
+
A
‾
C
AB + \overline{A} C + BCD \cdots = AB + \overline{A} C
AB+AC+BCD⋯=AB+AC
3. 三个定理（规则）
⑴ 代入定理
在任何一个包含变量
A
A
A 的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有
A
A
A 的位置，则等式仍然成立。
代入定理可用于逻辑等式证明，例如：
对等式
A
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}
AB=A+B，以
B
C
BC
BC 代替
B
B
B，可得
A
⋅
B
C
‾
=
A
‾
+
B
C
‾
=
A
‾
+
B
‾
+
C
‾
\overline{A\cdot \textcolor{#FF0000}{BC}} = \overline{A} + \overline{\textcolor{#FF0000}{BC}} = \overline{A} + \overline{\textcolor{#FF0000}{B}} + \overline{\textcolor{#FF0000}{C}}
A⋅BC=A+BC=A+B+C
代入定理更大的意义在于电路设计，它体现了数字电路设计的基本特点和根本优势，一个数字电路（系统）的输出信号品质不会因为电路的复杂而变差。
⑵ 反演定理
对于任一逻辑式
Y
Y
Y，若将其中所有的 “与”、“或”，“0”、“1”，原、反变量互换，那么得到的结果即为
Y
‾
\overline{Y}
Y。
反演定理用于对逻辑式求反，是求解逻辑函数的反函数的重要方法。例如：已知
Y
=
A
B
ˉ
+
C
+
D
ˉ
‾
Y = A\bar{B} + \overline{C + \bar{D}}
Y=ABˉ+C+Dˉ
则由反演定理和摩根定律
Y
‾
=
(
A
ˉ
+
B
)
C
ˉ
D
‾
=
(
A
ˉ
+
B
)
(
C
+
D
ˉ
)
\overline{Y} = (\bar{A} + B) \textcolor{#FF0000}{\overline{\bar{C} D}} = (\bar{A} + B)(C + \bar{D})
Y=(Aˉ+B)CˉD=(Aˉ+B)(C+Dˉ)
注意：使用反演定理时，多变量上的反号（即所谓长非号）不变，原表达式的运算优先级不变。
⑶ 对偶定理
逻辑式的 对偶式 定义为：对任一逻辑式
Y
Y
Y，将其中的 “与”、“或”，“0”、“1” 互换，即得到
Y
Y
Y 的对偶式
Y
D
Y^D
YD。例如：
Y
=
A
B
+
C
‾
+
C
D
Y = A\overline{B + C} + CD
Y=AB+C+CD
则
Y
D
=
(
A
+
B
C
‾
)
(
C
+
D
)
Y^D = (A + \overline{BC})(C + D)
YD=(A+BC)(C+D)
对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
对偶定理主要用于逻辑等式证明。例如：已知分配律第一个公式
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A (B + C) = AB + AC
A(B+C)=AB+AC
则将等式左右两边变换为对偶式，得分配律第二个公式
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
A + BC = (A + B)(A + C)
A+BC=(A+B)(A+C)
4. 逻辑函数不同形式之间的转换
逻辑函数的表达式有与或式、或与式、与或非式、与非与非式、或非或非式等五种形式，其实际意义在于：电路设计时可根据实际条件或要求选择不同类型集成逻辑门电路。
我们可以将上述五种表达式分为两类，同一类内的逻辑式都可以通过摩根定律快速转换，第一类包括与或式、与非与非式；第二类包括或与式、或非或非式和与或非式。
① 与或式、与非与非式，形如：
A
B
+
C
D
=
A
B
‾
⋅
C
D
‾
‾
AB + CD = \overline{\overline{AB}\cdot \overline{CD}}
AB+CD=AB⋅CD
② 或与式、或非或非式、与或非式，形如：
(
A
+
B
)
(
C
+
D
)
=
A
+
B
‾
+
C
+
D
‾
‾
=
A
ˉ
⋅
B
ˉ
+
C
ˉ
⋅
D
ˉ
‾
(A + B)(C + D) = \overline{\overline{A + B} + \overline{C + D}} = \overline{\bar{A}\cdot \bar{B} + \bar{C}\cdot \bar{D}}
(A+B)(C+D)=A+B+C+D=Aˉ⋅Bˉ+Cˉ⋅Dˉ
那么，两类之间如何转换呢？
我们将与或式和或与式作为两类的代表，来分析二者之间的转换。显然，从或与式到与或式，只需要直接按普通分配律展开即可。从与或式到或与式，从逻辑代数的角度，至少可以有两种方法（还可以通过真值表、卡诺图等方法转换）：
方法一：（对不太复杂的逻辑函数）直接利用分配律第二个公式，即
Y
=
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
Y = A + BC = (A + B)(A + C)
Y=A+BC=(A+B)(A+C)
方法二：先求与或表达式的反函数（表示成与或式），然后再求反，继续以上式为例：
Y
‾
=
A
+
B
C
‾
=
A
ˉ
⋅
B
ˉ
+
A
ˉ
⋅
C
ˉ
\overline{Y} = \overline{A + BC} = \textcolor{blue}{\bar{A}\cdot \bar{B} + \bar{A}\cdot \bar{C}}
Y=A+BC=Aˉ⋅Bˉ+Aˉ⋅Cˉ
∴
Y
=
A
ˉ
⋅
B
ˉ
+
A
ˉ
⋅
C
ˉ
‾
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
\therefore Y = \overline{\bar{A}\cdot \bar{B} + \bar{A}\cdot \bar{C}} = (A + B)(A + C)
∴Y=Aˉ⋅Bˉ+Aˉ⋅Cˉ=(A+B)(A+C)
基础题★★
题 1 将
Y
=
A
C
+
B
C
‾
Y = AC + B\overline{C}
Y=AC+BC 用与或非式表示。
解析：
Y
‾
=
A
C
+
B
C
‾
‾
=
(
A
‾
+
C
‾
)
(
B
‾
+
C
)
=
A
‾
⋅
B
‾
+
A
‾
C
+
B
‾
⋅
C
‾
=
A
‾
C
+
B
‾
⋅
C
‾
\begin{align*} \overline{Y} &= \overline{AC + B\overline{C}} \\ &= \left(\overline{A} + \overline{C}\right)\left(\overline{B} + C\right) \\ &= \overline{A}\cdot \overline{B} + \overline{A} C + \overline{B}\cdot \overline{C} \\ &= \overline{A} C + \overline{B}\cdot \overline{C} \end{align*}
Y=AC+BC=(A+C)(B+C)=A⋅B+AC+B⋅C=AC+B⋅C
∴
Y
=
A
‾
C
+
B
‾
⋅
C
‾
‾
\therefore Y = \overline{\overline{A} C + \overline{B}\cdot \overline{C}}
∴Y=AC+B⋅C
题 2 已知函数
F
=
A
B
‾
+
B
‾
C
+
C
‾
(
A
‾
+
D
)
F = A\overline{B} + \overline{B} C + \overline{C}(\overline{A} + D)
F=AB+BC+C(A+D)，求反函数。
解析：运用反演定理和分配律
F
‾
=
(
A
‾
+
B
)
(
B
+
C
‾
)
(
C
+
A
D
‾
)
=
(
B
+
A
‾
⋅
C
‾
)
(
C
+
A
D
‾
)
=
B
C
+
A
B
D
‾
\begin{align*} \overline{F} &= (\overline{A} + B)(B + \overline{C})(C + A\overline{D}) \\&= (B + \overline{A}\cdot \overline{C})(C + A\overline{D}) \\&= BC + AB\overline{D} \end{align*}
F=(A+B)(B+C)(C+AD)=(B+A⋅C)(C+AD)=BC+ABD
数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数（逻辑代数基本定理及常用公式，最大项、 最小项，公式法、 卡洛图法及 Q - M 法化简逻辑函数）
摆渡沧桑 于 2019 - 09 - 05 16:51:15 发布
数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数（逻辑代数公式、 卡洛图的运用、 Q - M 法化简（列表法））
本节主要介绍逻辑代数的公式及逻辑函数的化简，包括公式法化简、 卡洛图化简、 Q - M 列表法化简。重点需要掌握前两种方法，第三种可以了解，能够帮助深入理解 逻辑相邻项。
一、逻辑代数的三个基本运算
逻辑代数中最基本的三个运算 ： 与、 或、 非 。
基本的函数关系如下 ：
二、逻辑代数的基本定律
1. 基本公式
比较重要的是后面三个定律 ：
反演律（德摩根律）
使用此定律可以将 乘积项 或 和项 打开。 具体规则是 × 变 +， + 变 × ； 原变量变反变量，反变量变原变量。
吸收律
重点掌握以下公式 ：
A
+
A
′
B
=
A
+
B
A + A'B = A + B
A+A′B=A+B
A
+
A
B
=
A
A + AB = A
A+AB=A
A
(
A
+
B
)
=
A
A(A + B) = A
A(A+B)=A
推导过程 ：
A
+
A
′
B
=
A
+
A
B
+
A
′
B
=
A
+
B
(
A
+
A
′
)
=
A
+
B
\begin{align*} A + A'B &= A + AB + A'B \\ &= A + B(A + A') \\ &= A + B \end{align*}
A+A′B=A+AB+A′B=A+B(A+A′)=A+B
冗余律
A
B
+
A
′
C
+
B
C
=
A
B
+
A
′
C
AB + A'C + BC = AB + A'C
AB+A′C+BC=AB+A′C
推导过程 ：
A
B
+
A
′
C
+
B
C
=
A
B
+
A
′
C
+
(
A
+
A
′
)
B
C
=
A
B
+
A
′
C
+
A
B
C
+
A
′
B
C
=
A
B
(
1
+
C
)
+
A
′
C
(
1
+
B
)
=
A
B
+
A
′
C
\begin{align*} AB + A'C + BC &= AB + A'C + (A + A')BC \\ &= AB + A'C + ABC + A'BC \\ &= AB(1 + C) + A'C(1 + B) \\ &= AB + A'C \end{align*}
AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A′C(1+B)=AB+A′C
2. 基本定理
代入定理 任何一个逻辑式代入原来式中所有相同的变量位置，等式仍然成立。
反演定理
对偶定理
若两逻辑等式相等，则它们的对偶式也相等。
在某些情况下，证明某式成立时，可以通过对偶定理证明其对偶式成立来简化证明。例如 ：
若
Y
=
A
(
B
+
C
)
Y = A(B + C)
Y=A(B+C)，则
Y
D
=
A
+
B
C
Y_D = A + BC
YD=A+BC
若
Y
=
(
A
B
+
C
D
)
′
Y = (AB + CD)'
Y=(AB+CD)′，则
Y
D
=
(
(
A
+
B
)
(
C
+
D
)
)
′
Y_D = ((A + B)(C + D))'
YD=((A+B)(C+D))′
若
Y
=
A
B
+
(
C
+
D
)
′
Y = AB + (C + D)'
Y=AB+(C+D)′，则
Y
D
=
(
A
+
B
)
(
C
D
)
′
Y_D = (A + B)(CD)'
YD=(A+B)(CD)′
三、逻辑函数的两种标准式
1. 最小项
n
n
n 个变量的 最小项 是含
n
n
n 个变量的 与项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。通常用
m
i
m_i
mi 表示各项。
例如，对于下面的逻辑表达式 ：
2. 最大项
n
n
n 个变量的 最大项 是含
n
n
n 个变量的 或项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。通常用
M
i
M_i
Mi 表示各项。
3. 最大项和最小项的性质
n
n
n 变量的全部最小项之和恒为
1
1
1，全部最大项之积恒为
0
0
0。
任意两个最小项之积恒为
0
0
0，任意两个最大项之和恒为
1
1
1。
n
n
n 变量的每一个最小项或最大项有
n
n
n 个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称 逻辑相邻项）。
四、逻辑函数的卡洛图化简
公式法化简逻辑函数其实就是用上面的公式来化简。主要介绍一下卡洛图化简。
1. 相邻项
首先需要了解 相邻项 的概念，即两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称 逻辑相邻项。
2. 卡洛图
把任意两个逻辑上相邻的最小项变为几何中的相邻，做到逻辑相邻和几何相邻。 2 变量卡洛图 ： 由代表四个最小项的四个方格组成 ：
三变量卡洛图由
8
8
8 个最小项组成， 需要注意的是最小项编码和格雷码的编码类似，即相邻位置或者首尾是逻辑相邻：
四变量如下（一般卡洛图的化简至多四 - 五个变量） ：
3. 逻辑函数在卡洛图的表示
例如 ：
4. 卡洛图最小项合并规则
任何两个为一的相邻最小项可以合并为一项，并消去一个变量（消去的是互为反变量的因子，保留公因子） ：
任何四个为一的相邻最小项（可以是循环相邻）可以合并为一项，并消去两个变量 ：
5. 图形法化简的基本步骤
将函数化为最小项之和的形式，然后做函数的卡洛图，确定卡洛图方格矩阵。
画卡洛圈（要遵循卡洛圈最少、 最大的原则）。
写逻辑表达式（相同变量留下，不同变量去掉）。
五、Q - M 法化简逻辑函数（奎恩 - 麦克拉斯基），也叫列表化简法
卡洛图法化简虽然比较直观、简单，但当逻辑变量大于五个之后，会变得很困难。而公式法化简虽然不受变量数量的影响，但化简过程并没有固定、通用的步骤，也很难借助计算机辅助进行化简。因此，本节介绍 Q - M 法化简，本质上也是通过相邻最小项消去多余因子，来求逻辑函数的最简形式。
例如，对于以下函数表达式 ：
Y
=
∑
m
(
0
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
11
)
Y = \sum m(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11)
Y=∑m(0,3,4,5,6,7,8,10,11)
将其按照一个个数一次排列分组 ：
合并相邻的最小项
将上表中每一组的每一个最小项与相邻组所有的最小项逐一比较，若仅有一个因子不同，则可以合并，并消去不同的因子。例如，
m
0
m_0
m0 和
m
4
m_4
m4 仅有一位不一样，所以这一位可以合并为 0 - 00，同时将上表中可以合并的用“对号”表示，不能合并的用
P
i
P_i
Pi 表示。
按照同样的方法，可以再次合并下面左边的一列，可以合并的用“对号”表示，不能合并的用
P
i
P_i
Pi 表示。
经过以上合并，留下了没有合并过的最小项
P
i
P_i
Pi，因此可以表示为 ：
Y
=
P
1
+
P
2
+
P
3
+
P
4
+
P
5
+
P
6
+
P
7
Y = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 + P_7
Y=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7
需要注意的是，上面的表达式并不一定是最简结果。将所有
P
i
P_i
Pi 列成如下表格 ：
上表格中的
m
5
m_5
m5、
m
6
m_6
m6、
m
8
m_8
m8 都是只在
P
i
P_i
Pi 中只出现了一次，所以最小项一定包含
P
1
P_1
P1 和
P
4
P_4
P4。选取这两项之后，已经包含了
m
4
m_4
m4、
m
5
m_5
m5、
m
6
m_6
m6、
m
7
m_7
m7、
m
8
m_8
m8、
m
10
m_{10}
m10 这六个，除去之后剩下的
m
0
m_0
m0、
m
3
m_3
m3、
m
11
m_{11}
m11 如下表所示 ：
m
i
m_i
mi
0
0
0
3
3
3
11
11
11
P
2
P_2
P2×
P
3
P_3
P3×
P
5
P_5
P5×
P
6
P_6
P6××
P
7
P_7
P7×
现在化简上面的结果。因为
P
2
P_2
P2 和
P
3
P_3
P3 都有
m
0
m_0
m0，因此可以取任意一项作为最简项。对于
P
5
P_5
P5、
P
6
P_6
P6、
P
7
P_7
P7，由于
P
5
P_5
P5 和
P
7
P_7
P7 行的所有项均包含在
P
6
P_6
P6 中，因此
P
6
P_6
P6 包含了
P
5
P_5
P5、
P
7
P_7
P7 的所有最小项，故将
P
5
P_5
P5、
P
7
P_7
P7 删掉。因此最终的结果是 ：
Y
=
P
1
+
P
4
+
P
3
+
P
6
Y = P_1 + P_4 + P_3 + P_6
Y=P1+P4+P3+P6
数电笔记（逻辑代数）
无一 _zhihu 编辑于 2022-05-19 10:29
注：本文部分图片重截，图中公式已文本化。
一些常用公式和定律
基本定律：0,1 律；互补律；重叠律；交换律；结合律；分配律；反演律（摩根定律）；吸收律；其他常用恒等式。
2A 不用管
分配律的验证
证明
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
A + BC=(A + B)(A + C)
A+BC=(A+B)(A+C)
证明：
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
=
A
⋅
A
+
A
⋅
B
+
A
⋅
C
+
B
⋅
C
=
A
⋅
(
1
+
B
+
C
)
+
B
⋅
C
=
A
+
B
C
\begin{align*} (A + B)(A + C)&=A\cdot A+A\cdot B+A\cdot C+B\cdot C\\ &=A\cdot(1 + B + C)+B\cdot C\\ &=A + BC \end{align*}
(A+B)(A+C)=A⋅A+A⋅B+A⋅C+B⋅C=A⋅(1+B+C)+B⋅C=A+BC
吸收律验证
证明
A
+
A
‾
⋅
B
=
A
+
B
A+\overline{A}\cdot B=A + B
A+A⋅B=A+B
证明：
A
+
A
⋅
B
=
A
A
+
A
⋅
B
+
A
‾
⋅
B
=
A
+
B
(
A
+
A
‾
)
=
A
+
B
\begin{align*} A+A\cdot B &= A\\ A+A\cdot B+\overline{A}\cdot B&=A + B(A+\overline{A})\\ &=A + B \end{align*}
A+A⋅BA+A⋅B+A⋅B=A=A+B(A+A)=A+B
恒等式验证
证明
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
AB+\overline{A}C + BC=AB+\overline{A}C
AB+AC+BC=AB+AC
证明：
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
⋅
1
=
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
(
A
+
A
‾
)
=
A
B
+
A
‾
C
+
A
B
C
+
A
‾
B
C
=
A
B
(
1
+
C
)
+
A
‾
C
(
1
+
B
)
=
A
B
+
A
‾
C
\begin{align*} AB+\overline{A}C+BC\cdot1&=AB+\overline{A}C+BC(A + \overline{A})\\ &=AB+\overline{A}C+ABC+\overline{A}BC\\ &=AB(1 + C)+\overline{A}C(1 + B)\\ &=AB+\overline{A}C \end{align*}
AB+AC+BC⋅1=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC
第二个恒等式与该方法相同
逻辑代数的基本规则
代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果用一个函数代替等式两边出现的某变量 A，则等式依然成立。
反演规则：求 非函数 时：与或互换，原变量换为非变量，并将 1 与 0 互换，所得的就是非函数。（保持原来的运算顺序，先与后或，可以用括号；非变量以外的非不变）
对偶规则：求 对偶式 时，与或互换，0，1 互换（保持顺序与反演一样）。
逻辑函数表达形式
与或：若干与项进行或逻辑
L
=
A
⋅
C
+
C
‾
⋅
D
L=A\cdot C+\overline{C}\cdot D
L=A⋅C+C⋅D
或与：若干或项进行与逻辑
L
=
(
A
+
C
)
⋅
(
B
+
C
‾
)
⋅
D
L=\left( A+C \right)\cdot \left( B+\overline{C} \right)\cdot D
L=(A+C)⋅(B+C)⋅D
最小项：一个乘积项包含了全部的变量（每个变量及其非都只出现一次）。最小项中 0 为非，1 为原。
性质：每一组最小项，都只有一组取值为 1，其余全为 0（全部最小项积为 0，和为 1）。
最小项表达式（标准与或表达式）：最小项进行或逻辑运算。
最大项：一个或项包含了全部的变量（每个变量及其非都只出现一次），最大项中 0 为原，1 为非。
性质：任意一个最大项，只有一组取值为 0。所有最大项和为 1，积为 0。
最大项表达式（标准或与表达式）：最大项的乘积。下标相同的最大项和最小项互补。
逻辑函数的形式：与或，与非 - 与非，或与，或非 - 或非，与或非
逻辑函数的化简（化简的原因：实现函数只需要一种规格的逻辑门，给电路设计带来方便）：在若干逻辑关系相同的与或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为是最简与或表达式。
逻辑函数的代数化简方法：
并项法：
吸收法：
消去法：
德摩根定律化简（A 非或 B 非）
配项法：
逻辑函数形式的变换：通常化简为与或表达式再转换形式。
卡诺图化简法
卡诺图定义：此函数的最小项表达式中的各最小项相应的填入一个特定的方格内，此方格为卡诺图（一般用于 3，4 个变量的逻辑函数化简，原因是卡诺图的个数为 2 的 n 次方，太多不方便）(最简式为与或形式的为最小项，为或与形式的为最大项)。
卡诺图的特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上也是相邻的（只有一位变量不同，类似格雷码，画图的时候可以根据格雷码最小位镜像对称的特点标号），具有上下左右封闭性（即最左边和最右边，最上边和最下边，四个角都是相邻的）。
卡诺图画法：当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图对应最小项的方格中填入 1，其余方格用 0 或者空格表达。
化简依据：代数化简验证（化简时，不变的变量留下，变化的变量去除）。
化简方法（一次只能圈 2 的次方个，可以两次圈同一个，但必须要有新的）：
写出最小项表达式。画出卡诺图。将无相邻的项单独圈出来。将只有一种圈法的圈起来。将剩余的圈出来（尽可能的圈大，圈出来的数多）。
无关项：取值无法取到的项为无关项，例如用 8421BCD 码表示 0—9，则剩下的就为无关项。
化简：无关项可以取 0 或者 1，视情况定，原则上是怎样化简简单怎么取。
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逻辑运算律公式大全 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/m0_57104353/article/details/124774678
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数字电路基础知识 —— 数字逻辑代数 (逻辑代数基本定理及常用公式，最大项、最小项，公式法、卡洛图法及 Q-M 法化简（列表法）化简逻辑函数)_数电逻辑运算公式 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/vivid117/article/details/100547649
数电笔记（逻辑代数） - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/473625059